Der Kreis des Apollonius

Es gilt der Satz:

Jede Winkelhalbierende im Dreieck teilt die Gegenseite innen im Verhältnis der anliegenden Seiten.
Jede Winkelhalbierende eines Aussenwinkels am Dreieck teilt die Gegenseite aussen im Verhältnis der anliegenden Seiten

Die innere und die äussere Winkelhalbierende eines Dreieckswinkels teilen also die Gegenseite harmonisch im Verhältnis der anliegenden Seiten

Die Umkehrung des Satzes ist wahr:

Teilt man eine Dreiecksseite harmonisch im Verhältinis der anliegenden Seiten, so halbieren die Geraden durch die Teilpunkte und die Gegenecke den Innen- und Aussenwinkel des Dreiecks.

Dieser Satz ist Grundlage für einen berühmten Satz der Antike. Um 200 v. Chr. hat der griechische Mathematiker und Astronom Apollonius in Alexandria folgende Entdeckung gemacht:

Der geometrische Ort der Punkte, deren Entfernung von zwei gegebenen Punkten A und B ein festes Verhältnis b:a haben, ist der Kreis mit dem Durchmesser T1 T2.
T1 und T2 teilen AB harmonisch im Verhältnis b:a

Prüfen Sie diese Behauptungen an folgender Zeichnung:
Durch Bewegen der Ecke C1 auf dem Kreis (mit Hilfe der Maus) sehen Sie, dass dieses Verhältnis konstant bleibt.
Durch Verschieben der Ecke C (Radiobutton aktivieren) können Sie das Verhältnis b:a verändern.
Alternativ können Sie auch mit 'Step' die Position von C1 (bzw. C bei angekreuztem Radiobutton) schrittweise verändern.

Verhältnis AC : BC = b : a =
Verhältnis AT₁ : BT₁ =
Verhältnis AT₂ : BT₂ =
Verhältnis AC₁ : BC₁ =
Position Punkt C1 verändern
Position Punkt C verändern