Mandelbrotmenge und Pi

Mandelbrotmenge M: z₁ = 0. Für jeden komplexen Parameter c wird die Zahlenfolge (z_n) gemäss z_n+1 = z_n² + c betrachtet.
M ist die Menge aller Parameter c, für welche die Folge (z_n) nicht divergiert.

Für das Auftreten der Ziffern von π sind mehrere Wege möglich.
Horizontaler Weg: Man setzt c = 0.25 + ε (ε>0)
Vertikaler Weg. Man setzt c = -0.75 + εi
Diese beiden Zahlen c sind nicht in der Mandelbrotmenge. Die Folge z_n divergiert daher.
Man zählt nun die Anzahl Iterationen N, bis |z_n| > 2. Je kleiner ε, desto grösser wird N. Bei N zeigt sich dann ein erstaunlicher Zusammenhang mit π ≈ 3.141592653...

Sie können die Resultate in den untenstehenden Tabellen überprüfen, indem Sie die Anzahl Iterationen (maximal 40 Millionen) und Epsilon in die entsprechenden Felder eingeben und dann auf den gewünschten Button klicken.

Iterationen = ε =

Iterationen N, bis |z_n|>2 für c = 0.25 + ε

ε	c	N	N √ε
1	1.25	2	2
0.1	0.35	8	2.53
0.01	0.26	30	3.0
0.001	0.251	97	3.067
0.0001	0.2501	312	3.12
0.00001	0.25001	991	3.1338
10^-6	0.250001	3140	3.140
10^-7	0.2500001	9933	3.14109
10^-8	0.25000001	31414	3.1414
10^-9	0.250000001	99344	3.14153
10^-10	0.2500000001	314157	3.14157

Iterationen N, bis |z_n|>2 für c = -0.75 + εi

ε	c	N
1	-0.75+i	3
0.1	-0.75+0.1i	33
0.01	-0.75+0.01i	315
0.001	-0.75+0.001i	3143
0.0001	...	31417
0.00001	...	314160
10^-6	...	3141593
10^-7	...	31415927

Für c = 0.25 + ε gilt: N √ε ≈ π
Einen Beweis dafür finden Sie auf https://aperiodical.com/2015/03/mandelbrot-pi/

Zur Info über Juliamengen und Mandelbrotmenge.

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